受験算数の「ニュートン算」とは何か

『牧場の草を喰ふ牛の問題』は、明治時代から受験問題集の中で「ニュートンの問題」とも呼ばれ、現在の「ニュートン算」という名前につながります。

しかし、ニュートンの『普遍算術』の「牛の問題」と現在の「ニュートン算」とでは、タイプが違うし（前述したように現在の方がやさしい）、問題の解き方となると相当に違います。

ニュートン自身は決して、「ニュートン算」と呼ばれるような特殊な解法を説いたのではなく、普遍的な方程式を教える例題として出題したのでした。ただ、この問題が方程式の問題としても、特別に思考をこらす必要があるものだったことは見てきたとおりです。日本の受験算数界は、ニュートンの『普遍算術』を読みもせずに、ニュートン算を誤り伝えていると言わざるをえません。（もっとも、ニュートンの原典にあたる必要など、問題を解く上で関係ないといえば関係ないことなのですが）

現在、中学入試で出る「ニュートン算」のタイプは（前述の『数学三千題』の問題もこのタイプなのですが）、次のような問題です。

「泉に水がたまっている。この泉は毎分8ℓの水がわき出している。この水を牛3頭で飲むと30分で水はなくなり、牛4頭で飲むと15分でなくなる。では牛5頭で飲むと何分間でなくなるか。」

　水を飲んでいるときにも水がわき出し、最初の水量も、牛が飲む水量も分からないというのが、ニュートン算の特徴です。

　方程式を使ってよいなら、最初にたまっていた水の量をχℓ、牛1頭が1分間に飲む水の量をｙℓとして次のような連立方程式を立てればよいでしょう。

　χ＋8×30＝3×30×ｙ

　χ＋8×15＝4×15×ｙ

　これから、ｙ＝4、χ＝120が求められ、最初に水が120ℓたまっていたところに、1分間に、8ℓずつわき出し、4 ℓ /頭×5頭＝20ℓずつ飲まれると、差し引き20－8＝12ℓずつ減ることになるので、120÷12＝10分間で水がなくなると答が出ます。

　これを、方程式を使わないで解く解き方が「ニュートン算」となります。

　ポイント（目の付けどころ）は、水がなくなるまでの30分間にわき出た水量と15分間にわき出た水量の差（30－15＝15分間の間にわき出た水量）が、3頭が30分間に飲む水量と、4頭が15分間に飲む水量の差だと気がつくことです。

8×15＝120ℓ 　　　　　　　これが15分間の間にわき出た水量。

3×30－4×15＝90－60＝30　　　これが、3頭が30分間に飲む水量と4頭が15分間に飲む水量の差。　

120÷30＝４　　　これが1頭が1分間に飲む水量となります。

　したがって、3頭が30分間に飲む水量は、4×3×30＝360ℓ。

だから最初にあった水量は、360－8×30＝120ℓとわかります。

（4頭が15分間で飲む水量は、4×4×15＝240ℓ。こちらからも、最初にあった水量は、240－8×15＝120ℓとわかります。）

　ここまで分かれば、120ℓあった水量が、1分間に8ℓずつ水がわき出し、5×4＝20ℓずつ飲まれるのだから差し引き12ℓずつ減ることになるので、120÷12＝10分間で水がなくなると、方程式の場合と同じように答が出ます。

解き方のポイントを知れば、鶴亀算のように、とまではいかなくても、ある程度は要領がつかめるでしょう。しかし、以上の解き方を最初から自分ひとりで考えるとなるとかなり大変でしょう。

しかし、確かに大変ではあるのですが、最初にニュートンが『普遍算術』で出題した「牧草を牛が食う」問題よりは、やさしいタイプの問題なのです。それは、泉が一か所になっているからです。牧草の問題としてなら牧草地が一か所の（あるいは、三か所の牧草地の面積がみな等しい）タイプの問題になっているからです。

ということは、逆に考えると、最初のニュートンの問題も、藤沢利喜太郎が苦しんだ問題も、このタイプの問題になるように条件を変えていくと解くことが可能だということになります。ニュートンの解き方よりやさしくなるはずです。やってみましょう。

　　　　ニュートンの問題の別解

ニュートンが例題に出したのは次の問題でした。

「もし12頭の牛が（3と1/3）エーカーの牧草を4週間で食べ尽くし、21頭の牛が10エーカーの牧草を9週間で食べ尽くすとすると、何頭の牛が24エーカーの牧草を18週間で食べ尽くすか。」

　牧草地が３ヶ所出てきて、面積が（3と1/3）エーカー、10エーカー、24エーカーと異なっています。10エーカーにそろえましょう。

12頭の牛は（3と1/3）エーカーの草を4週間で食い尽す。（3と1/3）エーカーの3倍が10エーカーだから、12頭の3倍の36頭の牛なら、10エーカーの牧草を4週間で食い尽す。…（1）

また、問題文より、21頭の牛は10エーカーの牧草を9週間に食い尽す。…（2）

（1）と（2）から、同じ10エーカーで、21頭の牛が9週間に食う牧草の量と12頭の牛が4週間に食う牧草の量の差を求めると、　

21×9－36×4＝189－144＝45頭・週分

これが、9週間－4週間＝5週間に10エーカーで生長する牧草の量だから、

45頭・週分÷5週＝9頭分（10エーカーに1週間に生長する草の量）

したがって、10エーカーで36頭の牛が4週間に食う量から4週間で生長する量を引けば、

36×4－9×4＝144－36＝108頭・週分（10エーカーに最初に生えていた牧草の量）

　したがって、1エーカーに最初に生えていた牧草の量は、

　　　　　108頭・週分÷10エーカー＝10．8頭・週分/エーカー

一方、1エーカーに1週間に生長する牧草の量は、

9頭分÷10エーカー＝0．9頭分/エーカー

　したがって、24エーカーなら、最初に生えていた牧草の量と18週間で生長する牧草の量の合計は、

10．8×24＋0．9×24×18＝648頭・週分

　この牧草の量を18週間で食い尽くす牛の頭数は、

　　　　648頭・週分÷18週＝36頭分

よって、牛の頭数は、36頭。

　この別解の方が、○頁のニュートンの解説より分かりやすいのではないでしょうか。

（以上、夕焼けさんのご教示に基づきます。）

　ニュートンの『普遍算術』の文字による問題の方にも別解があります。

　問題を次のように整理し直します。

「a頭の牛はb個の牧場の牧草をc日で食べつくす。

a’頭の牛はb’個の牧場の牧草をc’日で食べつくす。

a”頭の牛はb”個の牧場の牧草をc”日で食べつくす。

このとき、a 、a’、a”、b 、b’、 b”、c、c’、c”の間の関係はどうなるか。

ただし、各牧場の牧草の量は等しく、また、各牧場の一日の生長量は一定、それぞれの牛が1日に食べる量も一定であるものとする。」

『数学１００の問題』（数学セミナー増刊122頁、1984年、日本評論社）やWikipedeiaの「ニュートン算」などは、この形でニュートン算を紹介していますが、これらのネタ元は、ドェリー『数学の勝利』のようです。この本の日本語訳はないようですが、グーグルで原本を確認できます。

http://books.google.com/books?id=i4SJwNrYuAUC&printsec=frontcover&dq=intitle:100+intitle:Great+intitle:Problems+intitle:of+intitle:Elementary&lr=&as_drrb_is=q&as_minm_is=0&as_miny_is=&as_maxm_is=0&as_maxy_is=&as_brr=0&ei=uFM3Sq61D4uwkASBrbDDBA#PPA9,M1

なお、『数学者たちのチャレンジした問題』（マクシミリアン・ミラー、1988年、森北出版）にも紹介されているようですが、私は未見です。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1311038663

http://www.amazon.co.jp/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85%E3%81%9F%E3%81%A1%E3%81%AE%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%81%97%E3%81%9F%E5%95%8F%E9%A1%8C%E2%80%95%E8%A7%A3%E3%81%91%E3%81%9F%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%81%A8%E8%A7%A3%E3%81%91%E3%81%A6%E3%81%84%E3%81%AA%E3%81%84%E5%95%8F%E9%A1%8C-%E3%83%9E%E3%82%AF%E3%82%B7%E3%83%9F%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%B3-%E3%83%9F%E3%83%A9%E3%83%BC/dp/4627015100/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1265416986&sr=1-1

　答えは、行列式で、

｜b 　　cb 　　　ca |

｜b’ 　c’a’　 c’a’ | ＝0

｜b” 　c”b”　 c”a” |

と表せる関係となります。

この行列式の意味は、

bc’b’c”a”+cbc’a’b”+cab’c”b”-cac’b’b”-cbb’c”a”-bc’a’c”b”＝0

です。

ニュートンが『普遍算術』で書いている式は、この式をa”を求める式に変形したものということになります。

　さて、これにならえば、受験算数のニュートン算は、b＝b’＝b”＝１の場合であり、次のような問題ということになります。

「a頭の牛は１個の牧場の牧草をc日で食べつくす。

a’頭の牛は１個の牧場の牧草をc’日で食べつくす。

a”頭の牛は１個の牧場の牧草をc”日で食べつくす。

このとき、a 、a’、a”、c、c’、c”の間の関係はどうなるか。」

　答えは、行列式で、

｜1 　　c 　　　ca |

｜1　 c’a’　 c’a’ | ＝0

｜1　 c”b”　 c”a” |

つまり、c’c”a”+cc’a’+cac”-cac’-cc”a”-c’a’c”＝0

です。

　明治から昭和にかけて、東京帝国大学の数学科教授にして日本数学界と数学教育界のドン的存在だった藤沢利喜太郎は、自分のように30年間も数学をやっていた人間でもニュートン算は解けなかった。子どもが解けないのは当たり前で、こんな問題を子どもにやらせるのは弊害がある、と言っています。明治三二年に藤沢が行なった初等数学の教授法についての講習会の中での発言です。（『数学教授法講義筆記　明治32年夏期講習会』1900年。国会図書館の近代デジタルライブラリーで読むことができます。http://kindai.ndl.go.jp/BIDtlSearch.php ）

　藤沢が、挙げている問題は次のような問題です。

「牧場あり。十二頭の牛は一町歩の草を四週間に食い盡くし、二十一頭の牛は三町歩の草を九週間に食い盡くすと云う。三十六頭の牛は十八週間に幾町歩の草を食い盡くすべきか。但し草は一様に生長するものとす」

この時代、中学入試では、方程式を使わないで問題を解くことになっていました。今でも、中学入試の原則はそうですが。鶴亀算、旅人算、過不足算などのいわゆる「特殊算」の解法を教える受験算術が猖獗をきわめていきます。

上のニュートン算の問題も方程式を使わないで解けと言われると、藤沢でなくてもギブアップでしょう。方程式を使っていいと言われても、難しさはたいして変わらないでしょうが。

　藤沢は、この問題を『数学三千題』という本の中で見つけたと言っています。

『数学三千題』というのは、明治10年代に大流行した問題集形式の教科書で、タイトル名通り、上中下の三巻に全三千題の問題とその解答だけを載せています。解説はありません。（これも「近代デジタルライブリーで読むことができます。」

藤沢は、『三千題』のようにただただ問題を数多くやりさえすればよいという勉強法を批判します。「謎ヲ解ク様」な問題も多く、特に、このニュートン算の問題は「最モタチ悪イ問題」で、「種種ノ仮定ヲ加ヘ」ないと解けないと罵倒しています。

ちなみに、藤沢は、この問題に「種種ノ仮定ヲ加ヘ」て、答を「七町二段」と出しています。

　藤沢は、この問題の出典であるニュートンの“Arithmetica Universalis”にも噛み付きます。

「この本は大分に古い本で、訳して『一般算術』と申しますが、ニウトンは決して教育のためにこの本を著したのではありませぬ。この時分には数学者間に問題の試合という妙なことが流行ったこと丁度封建時代に剣戟の試合が流行ったのと似ておりまして一般人民のやったことではありませぬ。唯数学者という変屈者が所々に散在して互いにやり合ったという随分面白い時代であります。」　

　講習会での話という、聴衆受けを狙ったにしろ、ずいぶんとくだけた話しっぷりです。自分も数学者のくせに「数学者という変屈者」などというのは、藤沢先生、なかなか隅には置けません。

しかし、藤沢がここで言っている「数学試合」が、有名なタルターリアとフェラーリとの三次方程式、四次方程式をめぐる試合のことを念頭に置いていたのだとしたら、それは1548年のことであり、ニュートンが“Arithmetica Universalis”のもとになった講義を行った1673－1683年や、“Arithmetica Universalis”が刊行された一七〇七年とは、およそ一世紀半も時代がずれてしまい、失当です。藤沢先生は、講習会での発言ということで、出典確認がおろそかなまま、口がすべってしまったようです。藤沢は「変屈者」というより、「お調子者」だったようです。

　藤沢は、和算の鶴亀算などに見られる遊戯的な算術を批判し、講習会の数年後、国定教科書の編纂に関わったときには、義務教育の教科書には鶴亀算などは載せないという見識を示しています。講習会では、次のように述べています。

「この『一般算術』という本も先ず遊戯算術と云うて善かろう。ニウトンは有名なる学者であったけれどもその時分には教育ということは余り発達しておりませんでしたから、ニウトンはこの本を教育上の助けとするために著したのではありませぬ。実にこの本は学術上より見ればとぼけた本であるにも拘わらず、これらの本より不都合なる問題を取ったというのはニウトンを崇拝するの余り、その人の寝言まで金科玉条視したからでありませう」

　いやはや藤沢先生、言いたい放題ですが、実証的にはやや疑問視せざるをえない与太が紛れています。たとえば、藤沢は、上記のニュートン算の問題が『数学三千題』の中にあるように述べていますが、これが、「三千題」流の大流行の嚆矢となった明治13年刊の尾関正求の『数学三千題』のことだとすると、確かにニュートン算の問題はあるのですが、それは藤沢が挙げた問題ではなく、次のような問題です。

「水桶あり。その溜水若干あり。また毎時若干の水流入すべし。然るに十二個の水抜を開けば七時三十分間に水尽べく、また七個の水抜を開けば十六時間にして水尽べしと云う。問幾個の水抜を開けば五十時間に尽くべきや」（『数学三千題』下巻124ページ、319番。これも「近代デジタルライブラリー」で読むことができます。）

　この問題は、藤沢が例に出した問題よりやさしいタイプの問題になります。現在の中学入試で出題されるものも、このタイプのニュートン算になります。

　藤沢は、「坂の上の雲」をめざした明治の青年群像の一人として愛すべき人格の持ち主だったのでしょう。しかし、文献考証とかの辛気臭いことには手抜かりがあったようです。もっとも文献考証にこだわるのは文系で、理系は自分の頭で考え、その正誤を実験と観察で確かめるという方法の違いもあるでしょうが。

数学史家の小倉金之助は、『数学教育史』（一九三二年）の中で、ニュートンの“Universal Arithmetic”の79頁の写真を載せて、次のように注記しています。

「これは名高い『牧場の草を喰ふ牛の問題』である。実は斯様な謎のような問題は、この書の中に算術問題の所にわずか数題あるのみである。しかるにわが数学教育界にはニュートンのこの書を読みもせずに、この書の性質を誤り伝えている数学者がいるようであるから、ここに一言を加えておく。」

ここで名指しこそしていませんが、小倉が批判している「数学者」は、藤沢利喜太郎のことでしょう。

小倉の『数学教育史』が出た一九三二年（昭和七年）は、藤沢が亡くなる1年前で、藤沢が主導した第一期から第三期までの国定教科書（いわゆる「黒表紙」）を改訂する作業が始まっていて、昭和一〇年には第四期の国定教科書、いわゆる「緑表紙」が誕生します。その中心となったのは、文部省の塩野直道で、塩野は、小倉の影響を受けていました。塩野は、藤沢が黒表紙に載せることを排した「鶴亀算」を緑表紙には載せますが、さすがに「ニュートン算」までは載せません。藤沢も小倉も、そして塩野も、「ニュートン算」を「謎のような問題」としてマイナス評価する点では一致していたのでしょう。

　一六六九年、二七歳のアイザック・ニュートンは、母校ケンブリッジ大学の数学講座の教授となります。そして、一六七三年から八三年まで学部学生に代数を講義します。その講義録は、二〇余年後の一七〇七年に『普遍算術』（“Arithmetica Universalis”）として出版されます。ちなみに、万有引力の法則で有名な彼の主著『自然哲学の数学的原理』（通称『プリンキピア』）の出版は、一六八七年、ニュートン四五歳の年のことです。

一七〇七年の“Arithmetica Universalis”はラテン語ですが、英語版の“Universal Arithmetic”が一七二〇年に出版されます。現在、ラテン語版も英語版もグーグルで読むことができます。

http://books.google.com/books?id=EQUOAAAAQAAJ&printsec=frontcover&dq=arithmetica+newton#PPA89,M1

http://books.google.co.jp/books?id=oAg3AAAAMAAJ&printsec=frontcover&dq=Universal+Arithmetick#v=onepage&q=&f=false

『普遍算術』の内容は、いろいろな算術や幾何の問題を、方程式という、どんな問題でも解ける普遍的な方法で解くことを教えるもので、それが、題名の『普遍算術』になっています。

日本では「旅人算」といわれる次のような問題も載っています。

「ＡとＢの二人の郵便配達の少年が、59マイル離れた地点から、ある朝、出会うために馬で出発した。Ａは2時間に7マイル進み、Ｂは3時間で8マイル進む。ただし、ＢはＡより1時間遅れて出発した。Ｂと出会うまでに、Ａは何マイル進むかを求めよ。」

この問題を、Ａが出会うまでの道のりをχとして、次のような方程式を立てて解いています。1+(177-3χ)/8＝2χ/7

なぜなら、Ａの時速は7/2マイル。したがって、Ａがχマイルの道のりを進むのにかかる時間は、2χ/7時間。一方、Ｂの時速はマイル。Ｂが進む道のりは（59－χ）マイル。したがって、この道のりを進むのにかかる時間は、3(59-χ)/8＝（177-3χ）/8時間。

そして、ＡはＢより1時間多く馬に乗っているということから、先のような方程式になるわけです。

これを解いて、χ＝35。ＡはＢに出会うまでの道のりは35マイル、としています。

いまの日本の中学生なら、数学が苦手でなければ、どうってことのない問題でしょう。17世紀のケンブリッジでは大学生が、あの偉大なニュートン先生からこんな問題ばかりを習っていたと思ったら、大間違いです。

次のような問題があります。

　　　　ニュートン自身による「ニュートン算」

『普遍算術』の問題11に次の問題があります。

「a頭の牛がb量の牧草地をc時間で食べ尽くし、d頭の牛がe量の牧草地をf時間で食べ尽くした。牧草は一定の速さで成長すると、何頭の牛がｇ量地の牧草をh時間で食べ尽くすか。」

文字を使った問題になっています。そして、文字式のまま解説しながら問題を解いて、答を

(gbdfh-ecagh-bdcgf+ecfga)/(befh-bceh)

としています。

こうなると、数学が得意な日本の中学生も、いや中学生でなくて大学生でもお手あげでしょう。

ニュートンが教えていたケンブリッジの学生も同じようなものだったのでしょう。すぐにニュートンは、文字を数値にした次の例題を出しています。

「もし12頭の牛が(3と1/3)エーカーの牧草を4週間で食べ尽くし、21頭の牛が10エーカーの牧草を9週間で食べ尽くすとすると、何頭の牛が24エーカーの牧草を18週間で食べ尽くすか。」

しかし、文字が数字に変わっても難しさは変わらないようです。この例題のニュートンの解説も分かりにくいのですが、訳してみると次のようになります。

「12頭の牛が4週間で(3と1/3)エーカーを食いつくす場合は、同じ割合では、36頭の牛が4週間で、あるいは、16頭の牛が9週間で、あるいは、8頭の牛が18週間で10エーカーを食いつくす。これは（4週間まで）牧草が伸びないという仮定の場合である。しかし、牧草が伸びるから、21頭の牛が10エーカーを9週間で食べ尽くした。後半の5週間に10エーカーの土地に伸びた牧草が16頭を超えて21頭を養うことになったわけである。これが、5頭の牛の9週間分にあたる。これは、5/2頭の牛の18週間分にあたる。そして、14週間（最初の4週間を超えて18週間になったときの超過分）の牧草の生長は、同じように、7頭の牛の18週間分を養うに足りる。というのは、5週間：14週間＝5/2頭：7頭　という比例式になるからである。（5週間の生長分が5/2頭の18週分にあたるときは、14週間の生長分は7頭の18週分にあたる。）したがって、7頭（牧草の生長が養う頭数）を8頭（4週間後牧草の生長がないときに養う頭数）に加えると、その合計は15頭になる。つまり、けっきょく、10エーカーが15頭を18週間養うに足りるときは、同じ割合で、同じ期間に24エーカーは36頭を養うことになる。」

これが、ニュートン自身による「ニュートン算」のようです。

論理の筋道を後から追うのだけでも大変ですが、この筋道を最初に見つけたニュートンは大したものだ、やはり天才だと思う（この言い方は、恐れを知らぬ大胆なものですが）。しかし、こういうふうに一つ一つ筋道を立てて考えなければならないとしたら、どこが、「普遍算術」なのかと思ってしまうが、文字の解答の式

(gbdfh-ecagh-bdcgf+ecfga)/(befh-bceh)

が「普遍的」だということなのでしょう。この文字に、それぞれ個別の数値を代入すれば、どんな問題でも答が導かれるということですから。

しかし、この答えの公式を丸暗記するにしろ、自分の頭でこの公式を導く筋道で問題を解くにしろ、ニュートン算がベラボーに難しい問題だということは分かります。

けれど難しいのは私たちの頭が悪いせいだからではありません。プロの数学者も難しいと言っているのです。

ヘーゲルの生涯は、1770年～1831年。ベートーベン１７７０～1827、ゲーテ1749～1832と同時代であり、数学者では、ガウス1777～1853が同時代となる。しかし、この4人が活躍していた19世紀初めのドイツはすごい時代であったと、教養主義的な感想をやはり持ってしまう。フランス数学界では、コーシー1789～1857が同時代であり、実数の概念が厳密化していく時代だったということなる。

ヘーゲルが考えている｢数｣は、自然数または整数のことだろう。

ヘーゲルは、『小論理学』のなかで、算法は、加法と乗法と乗冪の「三つ以上にはありえない」という。（岩波文庫版で(上)の311頁。『大論理学』でも同じことをいっている。）　もちろん、この「積極的」な算法と並んで、3つの消極的算法（減法、除法、開法）の存在も指摘している。

　算法がこの3種類しかありえないという理由は、数の本性から導かれる、という。

　以下、『小論理学』からの引用。ヘーゲル独特の言い回しに辟易としますが、『大論理学』よりは、はるかにまとまっている。

　「数の概念の規定は集合数と単位であり、数そのものは両者の統一である。（略）算法の原理は、諸数を単位と集合数との関係におき、二つの規定の相等性を作り出すことでなければならない。（略）

　数えることが最初である。これは一般に数を作ることであり、任意に多くの一を総括することである。」

　「しかし、算法とは」と、ヘーゲルは続けます。「単なる一を数えあわすことではなくて、すでに数であるものを数えあわすことである」と。

　そして、三種類の算法を列挙します。

第一の規定は、不等の数の「総括あるいは計算」である加法。たとえば、5、3、8と不等の数の総括である、5＋3＋8＝16という加法、ということでしょう。

第二の規定は、「諸数が一般に相等しいということである。したがって、それらは一つの単位をなしており。こうした単位の集合数が存在している。こうした計算をするのが乗法である。」つまり、5、5、5と諸数が等しいときは、5が単位であり、単位が3つ存在していて、その数3が集合数ということであろう。5が3つから、5×3＝15という計算をするのが乗法となる。続けて、ヘーゲルは次のように言う。

「この場合、集合数および単位という規定が、二つの数、二つの因数にどう分配されようと、すなわちどちらが集合数ととられ、どちらが単位ととられようと、少しもかまわない。」

5×3という乗法では、「5を単位、3を集合数」としようが、「5を集合数、3を単位」としようが、少しもかまわないということだろう。というか、「単位」「集合数」とは、ある数を2数の積に表したときのそれぞれの因数のことなのか、と、やや拍子抜けする。かけ算の規定が「数の概念」の本質にからむのか、と疑問になる。

そして、「最後に第三の規定は、集合数と単位との相等である。このように規定された数を数えあわすのが冪乗であり、その最初のものが平方である。それ以上の冪乗は、再び不定の集合数だけ数をそれ自身に掛けることの形式的な継続である。」

「この第三の規定において、集合数と単位という、存在する唯一の区別は完全な相等に達するから、算法はこの三つ以上にはありえない。」

と、ヘーゲルはいう‥‥はたしてそうだろうか。

加法。5＋3＋8　　　　　　　　　　　　単位も集合数も不等。

乗法。5＋5＋5＝5×3　　　　　　　　単位が相等、集合数が単位と不等。

冪乗。5＋5＋5＋5＋5＝5×5　　　単位も集合数も相等

冪乗の形式的な継続。　5×5×5×5×‥‥

という理解のようである。

しかし、算法という演算を、2変数から1数を導く関数と解すると、

＋（5，3）＝8

×（5，3）＝15

そして、5×5＝5^２を、5＊2とあらわすことにすると、

＊（5，3）＝125　となる。　＊（5，3）＝5³

そして、算法の定義を、2変数が等しい場合から、次の算法（関数）を定義していくと考えると、

＋（a，a）＝×（a，2）

×（a，a）＝＊（a，2）

＊（a，a）＝＊＊（a，2）

＊＊（a，a）＝＊＊＊（a，2）

・・・・

と、以下どこまでも続けることができ、算法は3種類で終わらないではないか、と考えた。

ちなみに、＊＊（5，2）は、＊（5，5）、つまり5の5乗のことであり、＊＊（5，5）は、5の5乗の5乗の5乗の5乗のこと、つまり土台の5とその上に次々に乗る5と、5が全部で5個ある場合である。

実際、『現代数学小事典』（講談社ブルーバックス、1977年）94頁では、このような演算体系の延長を考えている。

　ヘーゲルは、数の本質を、単位と集合数の統一と考え、演算を3種類に限定した。しかし、演算を「数の本質」などとは関係なく定義すれば、上記のように3種類に限定されないはず。しかし、拡張された演算にどのていどの意味と価値があるかは別問題だが。

　いや、そもそも、数（自然数）の本質というときには、単位と集合数という２つの要素より、基数と序数という２つの要素、あるいは、数を表わす数詞と数字という２つの要素のことを考えるべきではないか。

「小数・分数の乗除を教えないことにすれば話は別だが、意味の一貫性を保ちながら教えるとしたら、どうしたらいいか。答えは一つしかない。それは、第2学年の出発のときから乗法を累加としてではなく定義しておくことである。だが、そんなことは可能なのか。私は可能だと思う。それは、

　　1当たり量×分量

として乗法を定義することである。たとえば、「ウサギは1匹当たり耳を２つもっている。3匹分の耳の数はいくらか」という問題のとき、

　　2×3

という乗法を考えるのである。このような定義には加法は少しもはいってこない。しかも、意味は明瞭である。もちろん、答えを出すとき、

　　2＋2＋2＝6

という加法を使うことはいっこう差支えはない。要するに、乗法の意味づけは加法とは独立に行なうのである。ただし、計算の手段として加法が使われることはけっこうだ、という立場である。」

　この後、遠山は「乗法＝累加」という定義は「日本の“伝統的な”定義なのだろうか」と問い、『広辞苑』や『岩波古語辞典』で「かける」の意味にあたり、「いずれにせよ、累加の意味はなく、したがって“増える”という意味はない。このことからみると、日本語の“かける”は数学でいう操作、もしくはoperationに近い意味をもっていることがわかる。これは＜乗法＝累加＞という西欧的な伝統とは別のものである。むしろ、日本語本来の意味からすれば、“1当たり量からいくら分を算出する操作”と定義したほうが、日本の伝統には忠実だということになる。」と書いている。

「かける」の語義については、『日本語大辞典』（小学館）で私が調べた下記の方が詳しい。それは、『日本語大辞典』の方が、『広辞苑』などより詳しいからなのだが、参照されるとうれしい。

http://ameblo.jp/metameta7/entry-10359324908.html

　ここで、遠山は、乗法の定義として、

　　「1当たり量×分量」

「1当たり量からいくら分を算出する操作」

を提案しているから、

　　1当たり量×分量＝いくら分

という公式を考えていたのかもしれない。

　現在の、

　　1当たり量×いくら分＝全体の量

の公式とは、用語の使い方がちょっと違っていたようだ。

　それはともかく、現在の公式の「×いくら分」の「いくら分」は「分量」という「量」であり、「かける（×）」という乗法が「操作」「operation」という理解であったようだ。

　当初、私が疑問に思ったのは、「いくら分」は「量」なのか、ということだった。

　量の体系によれば、「量」とは、「物」の一側面ということであり、量を抽象したものが「数」となる。だから、「いくら分」「分量」が示す数は、「物の数」ということになる。しかし、「×いくら分」「×分量」の「いくら分」「分量」は“もの”の数というより、それだけの量を「乗（か）ける」“こと”を表わしているのではないかと疑問になったのだった。

　つまり、数の起源は、「もの」の抽象だけでなく、「こと」の抽象としてもあったのではないか、と思った。

ミカンの数や、羊の数なら「ものの数」である。目に見える「もの」だけでなく、耳に聞こえる「もの」、たとえば鐘の音の数も「ものの数」としてよいかもしれない。しかし、歩数や、呼吸数や、ミカンを2個ずつ3回籠に入れるときの3回などの動作（操作）の数は、「ものの数」というより「ことの数」ではないのか。

「もの」は空間に並存していて、その数がいくつであるかは（少数であれば）瞬間で映像として見てとれる。一方、「こと」は時間を追って継起していて、その数の値を知るには数詞で「数える」ことが必要である。言語脳の左脳、映像脳の右脳などと言いたくはないが、数の起源にこういうことを考える必要があるのではなかろうか‥‥

　といった疑問から、今回遠山の文章を読み直してみて、上記の箇所を（多分20数年ぶりに再）発見したのだった。「物」ではなく「操作」ということもちゃんと書いているではないか！

　再発見してもっと驚いたのは、森毅『数の現象学』（1978年、朝日選書版1989年）の「次元を異にする3種の乗法」の一節だった。

　子供6人にミカンを4個ずつあげるときにいくついるか、という問題で、6×4という式がバツにされた「掛け算事件」をめぐり、森は書いている。　

（http://ameblo.jp/metameta7/entry-10439284094.html 　も参照されたい。）

「足すという操作を繰り返すのは、よく累加といわれる。ヘーゲルの量論は、操作による観念的構築の弁証法的展開に特徴があるので、乗法を累加としてとらえて、それを「加法の弁証法的発展」と称した。（＊引用者注：この箇所は、ヘーゲルの該当箇所を読んでいないと理解不能でしょう。読んでも半可通かもしれませんが。ヘーゲルの該当箇所は以下参照。森毅さんのまとめ方とはちょっと違う印象があります。

http://ameblo.jp/metameta7/entry-10448751708.html ）

　しかし、小学校の掛け算は加法の操作として考えられる以前の問題である。それで、最近の教科書は「累加」の考えをぼかしている。この場合、「4個」が１つのカタマリとなって、それで分節される構造、つまり単位で測る考えをイメージさせる。ギリシア風にいえば、「4個」をモノス（１）として測る。（中略）

　ともかく、まあこれで、

　　　　4個×6＝24個

にはなる。これは、単位による測定であって、〈倍〉の１つの原形ではある。いまの指導要領（引用者注：1978年当時の指導要領です）は、累加というよりは、このあたりに焦点がおかれている（略）。

　この方法は、いくつかの限定がある。いまの場合でいえば、ミカンの個数という世界で、「量に操作して量が出る」形で、その量が同質の世界になっていることが特徴的である。いわば、

　　　　（モノ）×（ハタラキ）＝（モノ）

であって、その「モノの世界」が１つであること、その意味で〈1次元的〉であるといえる。これに付随して、×6の方が操作的であることとか、4×6が6×4に転換しないこととか、そうした限定が生じて（略）しまう。」

　長い引用になったが、「×6」の6は「モノの数」ではなく、「ハタラキの数」ということになる。「ハタラキ」「操作」は「量」という理解なのだろうか？　どうも、そうではないようだ。

　私の問題意識は、数の歴史を、数の起源を問うことだった。「量の体系」もその問題意識から捉え、疑問に囚われたのだった。数の起源には、物→量→数という流れだけでなく、事→？→数という流れもあるのではないか、と。

　しかし、今回、遠山啓の文章をいくつか読み直してみて、「量の体系」は、歴史の体系ではなく、教育の体系であることを再確認した。たとえば、遠山に「数のまえに量がある」という文章がある（『数学教育論シリーズ６』54頁～）が、ここでいう「数のまえ」とは、歴史的に数の概念が生まれる前のことではなく、小学校で子どもに数を教える前のことであり、子どもに、大きい⇔小さい、長い⇔短い、熱い⇔冷たい、などの量の感覚に配慮することが必要だという主張なのであった。

　遠山啓の「量の体系」は、「教育の体系」であって、「歴史の体系」ではなかった。と同時に「学問の体系」でもないのだろう。ただ、森毅さんの問題意識に歴史意識があるように、銀林浩さんが『数の科学・水道方式の基礎』（1975年1月）や『量の世界・構造主義的分析』（1975年8月）を書いていたときには、量の体系を学問の体系としても整理することを意識していたのだろうか。

　量の体系では、かけ算を、

　1当たり量×いくら分＝全体の量

　とする。

　これは、「数学という学問体系において乗法をかく定義する」ということではなく、「子どもにかけ算を教えるときは、先ずこの意味で導入する」ということなのだが、このときの「いくら分」は量なのだろうか、という疑問が生じた。

「4人に3個ずつミカンを配る。ミカンは何個必要か」という問題の立式は、

　　3×4＝12　

となる。単位まで書いて、1当たり量×いくら分の順番が守られていることをはっきりさせると、

　　3個/人×4人＝12個

となる。「いくら分」は4人であり、量の体系としては、

　　内包量×外延量＝外延量

となり、「いくら分」は外延量という量という理解になる。

　しかし、この場合の「4人」には、ほとんど意味がない。

　「4皿に3個ずつ」なら、3個/皿×4皿＝12個　だし、

　「4本の木に3個ずつ」なら、3個/本×4本＝12個　となり、

外延量の単位が人でも皿でも本でも何でも、この式の意味する本質には関係がない。

　この式の意味するところは、3個の「4つ分」ということである。

「×4」は、「4つ分」を「とる」ということになる。

ここで「とる」を「加える」と解すると、かけ算について昔から理解されてきた「累加」ということになる。しかし、遠山啓や数教協は、小数や分数の乗除のことまで考えると、かけ算を累加の簡便型として教えることはまずい、ということから議論を始めて、「量の体系」という考えに至ったはずである。

　いま、かけ算を累加の簡便型と「昔から」理解されてきた、と書いたが、いったいこの「昔」とはいつのことなのか、という疑問も生じた。

そんな昔のことではないのではないか。明治時代になって洋算が入ってきてからではないか。なぜなら、江戸時代までは、掛け算のことを「乗」とも言い（今でも「乗法」と言うけれど）、この乗を「かける」と読むこともあった。九九の「四三十二」とは、三を四個「乗（か）ける」ことだった。

江戸時代の九九では、九九の前の数が乗数（江戸時代の用語では「法」）、後の数が被乗数（江戸時代の用語では「実」）と解するのが正統的だった。算木の計算なら、3本の算木を1マスに4箇分「乗せる」、すると12本になる、という操作のことだったはずである。

　だいたい、江戸時代には「＋」や「×」という記号がなかったのだから、「3×4」を「3＋3＋3＋3」と解することはない。あえて書けば、「四三十二」の「四三」とは、「三、三、三、三」という理解だろう。「三」が四個であって、足し算（＋）が4回ではない。

だいたい、「3×4」を「3＋3＋3＋3」と解すると、足し算は3回という理解になり、これが、数教協が、乗法を累加として導入することを否定する大きな理由の一つだった。

数教協の水道方式がブームになった1962年に、それまで算数教育に大きな影響力を持っていた塩野直道は『水道方式を批判する』という本を啓林館から出している。いまさら言うまでもないが、塩野直道は、戦前の「緑表紙」の国定算術教科書の編纂者であり、戦後もアメリカ進駐軍の「生活単元学習」を最初に１点突破する算数教科書を啓林館から刊行している。両書とも、ある意味感動的な名著です。しかし、遠山啓や数教協との論争には負けていると言わざるをえない。

『水道方式を批判する』28頁に、次のようにある。

「従来、整数のかけ算は、同じ数を何回かたす（同数累加）場合に、たされる１つの数と、たす回数とから、たした結果を求める計算であると意味づけて指導してきています。」

　これは、緑表紙から啓林館までの自分の指導のことも含め、それを是としているわけだが、これでは、「3＋3＋3＋3」の「たす回数」を3回と誤解する子どもがいることを数教協が指摘したことを全然踏まえていない。

　29頁には、数教協が、「ウサギの耳は2つ、ウサギが3匹いると、耳の数は全部でいくつか」という例題を使って、2×3の式の答の求め方として、2＋2＋2としても、3＋3（右耳の数＋左耳の数）としてもよいとしていることを批判し、30ページでは、「2×3というのは、（量）×（量）として、どんな意味をわからせたのか私にはサッパリわかりません。かけ算の意味を「ウサギの耳」からはいっていくと、精薄児でも理解ができた、と数教協の研究集会で報告されているそうですが、そうなると、私は精薄児以下の低能ということになりそうです。ひょっとすると、数教協以外の者は、すべて低能かもしれません。」と書く。

　ここで塩野が、数教協の教え方だとして書いている内容は、私にも「サッパリわからない」が、内容の問題というより、こういう言いがかり的物言いは、論争に負けていることを逆に証明しているとしか思えない。

　いや、話が横道にそれかけた。

一九如九　二九一十八　三九二十七　四九三十六　五九四十五　六九五十四　七九六十三　八九七十二　九九八十一

　「九の段」とは、後の数（これが被乗数になります）が九のかけ算です。

　中国では、宋・元の時代頃からこの九九が使われ、それ以前は、「九九八十一、八九七十二、七九六十三、‥‥」という順番でした。

　さて、この九九の法則でもしも「十の段」の九九を作るとしたら、次のようになるでしょう。

　一十が十　二十が二十、三十が三十、四十が四十、五十が五十、六十が六十、七十が七十、八十が八十、九十が九十

　この形の「十の段」の九九は見たことはないのですが、明治6年に文部省が師範学校に編集させた『小学算術書』では、一の段から九の段までの九九の最後が十をかけるものになっています。

「‥‥、一八が、八、一九が、九、一十が、十、

　‥‥、二八の、十六、二九の、十八、二十が、廿、

　‥‥、三八、廿四、三九、廿七、三十が丗、

　‥‥

　九九、八十一、九十が、九十、」

　つまり、十の段の九九というのは、十進法で二桁の十の倍数を読む読み方（命数法）と同じになります。

　ということは、九以下の段の九九というのは、九進法、八進法、七進法、‥‥、二進法の命数法でそれぞれの二桁の倍数は十進法ではいくつのことになるかを示したものと考えることもできます。

　たとえば「四六、二十四」というのは、六進法で6が4個ある数（6進法位取り記数法で記せば、“40”となります）は、10進法では24のこと、ということを示していると解することもできます。

　普通に考えると、足し算や掛け算という演算は、命数法（数の読み方）が完成してから出来た、ということになります。数が出来てから数に対する演算ができた、と。しかし、命数法の中に、足し算や掛け算の原理が含まれています。三百五十八という命数法には、「3×100＋5×10＋8」という演算が含まれています。

　十の段の九九は、掛け算でもあり命数法とも解されます。単純に歴史的に命数法が先で演算が後というわけでもなく、命数法と演算はからみあいつつ成長していったのでしょう。

名古屋のラジオ局から電話がかかってきて、意見を求められたので、「どっちでもい」と答えたら、その理由を1時間後に聞かせてほしい、そのままラジオで放送するから、ということで、1時間必死に考え、次のように答えたということです。

1人に４つずつ6人に配るには、まず鈴木君に4個、次の田中君に4個、‥‥という方法がある。その図があります。縦に4個のミカンを点線で囲んだ列が６列あります。

「このように考えたとすれば、必要なミカンの数は、４のかたまりが６つあることになるから、

　4×6＝24

と計算するのが自然であろう。」

　しかし、つぎの方法もあるとして、まずミカンを1個ずつ6人全員に配り、つぎにまたミカンを1個ずつ6人全員に配り、このことを4回繰り返す。図があります。横に6個並んだミカンを点線で囲んだ行が4行あります。（前の図とは、点線の囲み方が違うだけで、ともに4行6列に並んだミカンの図です。）

「もし、こう考えたとすれば、1人に４個ずつ6人の人に配るのに必要なミカンの個数は、6のかたまりが4つあることから、

　6×4＝24

と答えるのが自然ということになるであろう。」

そのことを、1週間ほどのちに、「遠山先生」に話すと、「矢野君はやっぱり算数は素人だね。実際、矢野君の言うように考える子がときどきあるんだよ。われわれはこのような配り方を、カード式配り方とよんでいるがね」と言われ、「いやしくも数学の教師たるものは、乗法の交換法則６×４＝４×６に対してもここに述べたような二つの方法による説明を知っているべきである、ということであった。」

と結んでいます。

『おかしなおかしな数学者』の「遠山啓」の章です。

もちろん、ここで、矢野氏は遠山氏を揶揄しているわけではありません。

この引用個所は、以前もどこかで触れたのですが、そのときはほとんど意識していなかったのですが、矢野氏も、かけ算の式の順番は、「1当たり量×いくつ分」となるのが「自然」である、という考えから、上記のように、６が「1当たり量」となる配り方を考えたのだな、ということを、今回再確認した次第です。

　この問題で６×４という式を書いた生徒に×を付けた先生がいて、生徒の親が抗議した。発端は、これでした。新聞報道は、1972年の朝日。

遠山啓さんの意見は、どっちでもいい、というものでしたが、それは、どっちを「１あたり分」とみることも可能だから、というものでした。（現在、『遠山啓著作集　数学教育論シリーズ５　量とは何かⅠ』所収「６×４、４×６論争にひそむ意味」）

　森毅さんの見解は次のようなものです。（『数の現象学』「次元を異にする3種の乗法」初版1978年、現在、ちくま学芸文庫）

「４×６とか６×４とかいった順序は、日本とヨーロッパでは違う。日本は「４の６倍」式に４×６と書くが、ヨーロッパでは「６倍の４」式に６×４と書く。これは左側通行か右側通行みたいなもので、言語習慣から来ている。ただし、日本式の方が合理的というのが世界の相場だが、一方ではヨーロッパ式の方がすでに流通しまっている。まあ、これはヤクソクには違いない。」

「親の説明というのは、交換法則を説明しているのである。もっとも、大学入試などだと、たとえば次のようにでも書かないと大減点されるのだが。

『１人に１個ずつ配ると６人に対しては６個必要になる。

　１人当たり４個にするためには、それを４回繰り返さなければならない。

　　∴　6個／回×4回＝24個　』

つまり、

　　　　4個／人×6人＝24個

という最初の問題の6人を6個／回に、4個／人を4回に転換するところを書かないと、それぞれに１割程度の減点を覚悟しなければならない。そのうえに、わざわざ間接的にマワリミチをしたことで、１割ぐらい減点されるかもしれない。」

　つまり、遠山さんも森さんも、かけ算の式では「1当たり量」を先に書くという「ヤクソク」がある（少なくとも日本では）、ということでは一致しているわけです。

　６×４の式を、6人×4個／人、と解することはできないという立場のようです。

　遠山さん、森さんと同じ数教協の銀林さんの次の記述は以前どこかで紹介したことがあります。（銀林浩『数の科学・水道方式の基礎』1975年、101～102頁）

　自動車３台の車輪の数を求める式です。

「　４×３　　（4個／台×3台）

この場合の３は通常の（外延的な）離散量で、この乗法についての土台量とよばれる。だから、乗法においては、被乗数は１あたり量で、乗数は土台量なのである。

（略）

　まず土台となる集合Ｘがあって、その各要素χがよく見ると一定の内部量Ｙを保有しているのだとすると、逆にむしろ、

　　（土台量）×（１あたり量）

と書いた方が適切であるかもしれない。（略）自動車３台の車輪の数は、

　　　３×４　　（3台×4台＼個）

のように書き表されることになるわけである。この書き方を、乗数先書と呼ぶことにする。

　本書では、一応習慣上の書き方――つまり被乗数先書――によるが、要所要所でこの乗数先書の利害得失に触れることにする。」

　数えるという行為を、数詞という音声と個物を対応させる行為と限定するなら、数詞を知らないチンパンジーは数えてはいない。しかし、数字と個物を対応させる行為も「数える」行為に含めるなら、チンパンジーは数えているといえるだろう。

　数えるという行為は、ヒトにあっても、歴史的にいくつもの層、段階をなしているようだ。

　数詞で数を数える方法を命数法といい、数字で数を書き記す方法を記数法という。歴史的には命数法が先に生まれて、後から記数法が生まれた。命数法は、おそらく部族段階から使われ、部族ごと民族ごとにいくつものバリエーション、段階を経て進化し、現在も全世界では異なる言語で異なる命数法が使われている。記数法もいくつものバリエーション、段階を経たが、現在は、インド・アラビア数字による10進位取り記数法がグローバルスタンダードになっている。つまり、現段階は、グローバルスタンダードで記された数字を、異なる命数法で読んでいる。

　命数法にはいくつものバリエーションがあったが、どの民族のどの言語でもだいたい10進法に落ち着き、10進法の命数法を書き記す方法について、最終的にインド・アラビア数字の10進位取り記数法が制したわけだが、10進記数法の後で、2進法による記数法が生まれた。つまり10進法は命数法があって後に記数法ができたが、2進法は命数法がないまま記数法ができた。命数法がないということは、2進法で書かれた数字の読み方はないということだ。

たとえば101₍₂₎ を読むとしたら、日本語では「イチ、レイ、イチ」だろうか、それとも「ヒャク、イチ」だろうか。論理的には「ヒャク、イチ」の方が正しいだろう。ただ、2進法だから、ヒャクの位は2の2乗の4を表わしていると解釈する。しかし、実際は、「2進法のイチ、レイ（ゼロ、マル）、イチ」と読むのが一般的のようだ。英語なら「one hundred and one」と読むほうが、「one,zero,one」と読むより論理的だと思うが、11₍₂₎ の場合、日本語なら「ジュウ、イチ」の方が「イチ、イチ」より理にかなっていると思うが、英語では「eleven」が「one,one」より論理的とは言えない。「ten,one」と言うのもどうだろうか。これは、英語の命数法が、中国、日本の漢数字の命数法より整合的でないということであり、漢数字の整合性については、ジョルジュ・イフラー『数字の歴史　人類は数をどのようにかぞえてきたか』（1981年、平凡社版1988年）で教えられた。

　さて、2進法で数を書き記すとき、私たちは2進法で「数えている」のだろうか。数えていると言ってもよいだろう。つまり、命数法がなく、数詞による数え方がなくても、記数法で数で記すということは数を数えている、と言ってもよいだろう。

　このことは、考えるという行為は、音声言語（ことば）でなされるだけではなく、書記言語（文字）でもなされることとパラレルの事態だろう。聴者は、黙って考えているときでも声帯は微動しているというから、基本的には音声言語で考えているのだろうが、そのとき文字も意識の表面のすぐ下あたりで浮き沈みしているような感もある。いま英語で考えようとしたら（考えることなどできはしないが）、英語の音ではなくアルファベットの単語の方が主に意識に浮かんでくるようだったが、英会話ができない者のサンプルは参考にならないだろう。

では、ろう者が考えるときは、文字が基本なのだろうか、手話の映像が基本なのだろうか。どちらにしろ音声言語で考えていないことは確かだろう。すると、ろう者が数えるときも、数詞ではなく、インド・アラビア数字（あるいは漢数字？）か手話の数字で数えているはずだ。数詞ではなく数字で数えることも可能だということだ。

すると、チンパンジーも数字で数えていると言えるのだろうか。

「数える」という概念には、どこまでも数え続けられる、数えることには限りが無い、つまり「無限」という概念も含んでいるだろう。というか、ヒトは、無限という概念を、「数える」という概念の延長上に初めて意識するようになったように思う。

しかし、１桁の数しか認識していないチンパンジーは、数えることには終わりがない、ということが分かっていないばかり、２桁の数を認識することもできず、位取りという概念も認識できないのではないだろうか。この意味では、1桁の数字の意味を、基数的にも序数的にも認識しているチンパンジーが「（数字で）数えている」と言えるとしても、そのときの「数える」の意味は限定的に理解しなければならないように思う。